2D deep beam

import sympy as sym
from sympy import *
x = sym.Symbol('x')
z = sym.Symbol('z')
q = sym.Symbol('q')
E = sym.Symbol('E')
t = sym.Symbol('t')
v = sym.Symbol('v')
L = sym.Symbol('L')
f_0 = sym.Symbol('f_0')
d = sym.Symbol('d')
U_x = Function('U_x')(z)
U_z = Function('U_z')(z)
alpha = sym.Symbol('alpha')

# ux(x, z) -> Ux(z)*sin(alpha*x)
u_x = U_x*sin(alpha*x)

# uz(x, z) -> Uz(z)*cos(alpha*x)
u_z = U_z*cos(alpha*x)

f = f_0 * cos(alpha*x)

u_x

\[\displaystyle U_{x}{\left(z \right)} \sin{\left(\alpha x \right)}\]

u_z

\[\displaystyle U_{z}{\left(z \right)} \cos{\left(\alpha x \right)}\]

u_x_xx = diff(u_x,x,x)
u_x_xx

\[\displaystyle - \alpha^{2} U_{x}{\left(z \right)} \sin{\left(\alpha x \right)}\]

u_x_zz = diff(u_x,z,z)
u_x_zz

\[\displaystyle \sin{\left(\alpha x \right)} \frac{d^{2}}{d z^{2}} U_{x}{\left(z \right)}\]

u_z_zz = diff(u_z,z,z)
u_z_zz 

\[\displaystyle \cos{\left(\alpha x \right)} \frac{d^{2}}{d z^{2}} U_{z}{\left(z \right)}\]

u_z_xx = diff(u_z,x,x)
u_z_xx 

\[\displaystyle - \alpha^{2} U_{z}{\left(z \right)} \cos{\left(\alpha x \right)}\]

u_x_xz = diff(u_x,x,z)
u_x_xz

\[\displaystyle \alpha \cos{\left(\alpha x \right)} \frac{d}{d z} U_{x}{\left(z \right)}\]

u_z_zx = diff(u_z,z,x)
u_z_zx

\[\displaystyle - \alpha \sin{\left(\alpha x \right)} \frac{d}{d z} U_{z}{\left(z \right)}\]

PDE1 = Eq((E*t)/(1-v**2)*(u_x_xx + u_x_zz*(1-v)/2 + u_z_zx*(1+v)/2 ),0)
PDE1

\[\displaystyle \frac{E t \left(- \alpha^{2} U_{x}{\left(z \right)} \sin{\left(\alpha x \right)} - \frac{\alpha \left(v + 1\right) \sin{\left(\alpha x \right)} \frac{d}{d z} U_{z}{\left(z \right)}}{2} + \frac{\left(1 - v\right) \sin{\left(\alpha x \right)} \frac{d^{2}}{d z^{2}} U_{x}{\left(z \right)}}{2}\right)}{1 - v^{2}} = 0\]

PDE2 = Eq((E*t)/(1-v**2)*(u_z_zz + u_z_xx*(1-v)/2 + u_x_xz*(1+v)/2 ),0)
PDE2

\[\displaystyle \frac{E t \left(- \frac{\alpha^{2} \cdot \left(1 - v\right) U_{z}{\left(z \right)} \cos{\left(\alpha x \right)}}{2} + \frac{\alpha \left(v + 1\right) \cos{\left(\alpha x \right)} \frac{d}{d z} U_{x}{\left(z \right)}}{2} + \cos{\left(\alpha x \right)} \frac{d^{2}}{d z^{2}} U_{z}{\left(z \right)}\right)}{1 - v^{2}} = 0\]

U_x, U_z =  dsolve([PDE1,PDE2], [U_x,U_z])

U_x

\[\displaystyle U_{x}{\left(z \right)} = C_{1} \alpha z e^{\alpha z} + C_{4} \alpha z e^{- \alpha z} + \left(C_{3} \alpha + \frac{2 C_{4} \left(v - 1\right)}{v + 1}\right) e^{- \alpha z} - \left(\frac{2 C_{1} \left(v - 1\right)}{v + 1} - C_{2} \alpha\right) e^{\alpha z}\]

U_z

\[\displaystyle U_{z}{\left(z \right)} = - C_{1} \alpha z e^{\alpha z} + C_{4} \alpha z e^{- \alpha z} + \left(C_{1} - C_{2} \alpha\right) e^{\alpha z} + \left(C_{3} \alpha + C_{4}\right) e^{- \alpha z}\]

Now we redefine \(u_x(x,z)\) and \(u_z(x,z)\) to be able to introduce the BCs.

u_x = U_x.rhs*sin(alpha*x)
u_z = U_z.rhs*cos(alpha*x)

sigma_xx = E/(1-v**2) * (diff(u_x,x) + v*diff(u_z,z))
sigma_zz = E/(1-v**2) * (diff(u_z,z) + v*diff(u_x,x))
sigma_xz = E/(1+v) * (diff(u_x,z) + diff(u_z,x))
sigma_zz 

\[\displaystyle \frac{E \left(\alpha v \left(C_{1} \alpha z e^{\alpha z} + C_{4} \alpha z e^{- \alpha z} + \left(C_{3} \alpha + \frac{2 C_{4} \left(v - 1\right)}{v + 1}\right) e^{- \alpha z} - \left(\frac{2 C_{1} \left(v - 1\right)}{v + 1} - C_{2} \alpha\right) e^{\alpha z}\right) \cos{\left(\alpha x \right)} + \left(- C_{1} \alpha^{2} z e^{\alpha z} - C_{1} \alpha e^{\alpha z} - C_{4} \alpha^{2} z e^{- \alpha z} + C_{4} \alpha e^{- \alpha z} + \alpha \left(C_{1} - C_{2} \alpha\right) e^{\alpha z} - \alpha \left(C_{3} \alpha + C_{4}\right) e^{- \alpha z}\right) \cos{\left(\alpha x \right)}\right)}{1 - v^{2}}\]

eq1 = Eq(sigma_zz.subs(z,-d/2),f)
eq1

\[\displaystyle \frac{E \left(\alpha v \left(- \frac{C_{1} \alpha d e^{- \frac{\alpha d}{2}}}{2} - \frac{C_{4} \alpha d e^{\frac{\alpha d}{2}}}{2} + \left(C_{3} \alpha + \frac{2 C_{4} \left(v - 1\right)}{v + 1}\right) e^{\frac{\alpha d}{2}} - \left(\frac{2 C_{1} \left(v - 1\right)}{v + 1} - C_{2} \alpha\right) e^{- \frac{\alpha d}{2}}\right) \cos{\left(\alpha x \right)} + \left(\frac{C_{1} \alpha^{2} d e^{- \frac{\alpha d}{2}}}{2} - C_{1} \alpha e^{- \frac{\alpha d}{2}} + \frac{C_{4} \alpha^{2} d e^{\frac{\alpha d}{2}}}{2} + C_{4} \alpha e^{\frac{\alpha d}{2}} + \alpha \left(C_{1} - C_{2} \alpha\right) e^{- \frac{\alpha d}{2}} - \alpha \left(C_{3} \alpha + C_{4}\right) e^{\frac{\alpha d}{2}}\right) \cos{\left(\alpha x \right)}\right)}{1 - v^{2}} = f_{0} \cos{\left(\alpha x \right)}\]

eq2 = Eq(sigma_xz.subs(z,-d/2),0)
eq2

\[\displaystyle \frac{E \left(- \alpha \left(\frac{C_{1} \alpha d e^{- \frac{\alpha d}{2}}}{2} - \frac{C_{4} \alpha d e^{\frac{\alpha d}{2}}}{2} + \left(C_{1} - C_{2} \alpha\right) e^{- \frac{\alpha d}{2}} + \left(C_{3} \alpha + C_{4}\right) e^{\frac{\alpha d}{2}}\right) \sin{\left(\alpha x \right)} + \left(- \frac{C_{1} \alpha^{2} d e^{- \frac{\alpha d}{2}}}{2} + C_{1} \alpha e^{- \frac{\alpha d}{2}} + \frac{C_{4} \alpha^{2} d e^{\frac{\alpha d}{2}}}{2} + C_{4} \alpha e^{\frac{\alpha d}{2}} - \alpha \left(C_{3} \alpha + \frac{2 C_{4} \left(v - 1\right)}{v + 1}\right) e^{\frac{\alpha d}{2}} - \alpha \left(\frac{2 C_{1} \left(v - 1\right)}{v + 1} - C_{2} \alpha\right) e^{- \frac{\alpha d}{2}}\right) \sin{\left(\alpha x \right)}\right)}{v + 1} = 0\]

eq3 = Eq(sigma_zz.subs(z,d/2),0)
eq3

\[\displaystyle \frac{E \left(\alpha v \left(\frac{C_{1} \alpha d e^{\frac{\alpha d}{2}}}{2} + \frac{C_{4} \alpha d e^{- \frac{\alpha d}{2}}}{2} + \left(C_{3} \alpha + \frac{2 C_{4} \left(v - 1\right)}{v + 1}\right) e^{- \frac{\alpha d}{2}} - \left(\frac{2 C_{1} \left(v - 1\right)}{v + 1} - C_{2} \alpha\right) e^{\frac{\alpha d}{2}}\right) \cos{\left(\alpha x \right)} + \left(- \frac{C_{1} \alpha^{2} d e^{\frac{\alpha d}{2}}}{2} - C_{1} \alpha e^{\frac{\alpha d}{2}} - \frac{C_{4} \alpha^{2} d e^{- \frac{\alpha d}{2}}}{2} + C_{4} \alpha e^{- \frac{\alpha d}{2}} + \alpha \left(C_{1} - C_{2} \alpha\right) e^{\frac{\alpha d}{2}} - \alpha \left(C_{3} \alpha + C_{4}\right) e^{- \frac{\alpha d}{2}}\right) \cos{\left(\alpha x \right)}\right)}{1 - v^{2}} = 0\]

eq4 = Eq(sigma_xz.subs(z,d/2),0)
eq4

\[\displaystyle \frac{E \left(- \alpha \left(- \frac{C_{1} \alpha d e^{\frac{\alpha d}{2}}}{2} + \frac{C_{4} \alpha d e^{- \frac{\alpha d}{2}}}{2} + \left(C_{1} - C_{2} \alpha\right) e^{\frac{\alpha d}{2}} + \left(C_{3} \alpha + C_{4}\right) e^{- \frac{\alpha d}{2}}\right) \sin{\left(\alpha x \right)} + \left(\frac{C_{1} \alpha^{2} d e^{\frac{\alpha d}{2}}}{2} + C_{1} \alpha e^{\frac{\alpha d}{2}} - \frac{C_{4} \alpha^{2} d e^{- \frac{\alpha d}{2}}}{2} + C_{4} \alpha e^{- \frac{\alpha d}{2}} - \alpha \left(C_{3} \alpha + \frac{2 C_{4} \left(v - 1\right)}{v + 1}\right) e^{- \frac{\alpha d}{2}} - \alpha \left(\frac{2 C_{1} \left(v - 1\right)}{v + 1} - C_{2} \alpha\right) e^{\frac{\alpha d}{2}}\right) \sin{\left(\alpha x \right)}\right)}{v + 1} = 0\]

u_x.free_symbols

{C1, C2, C3, C4, alpha, v, x, z}

parameters = u_x.free_symbols - set([alpha, v, x, z, f_0])
parameters

{C1, C2, C3, C4}

sol_params = solve([eq1, eq2, eq3, eq4], parameters)
sol_params

{C1: 2048*alpha**11*d**11*f_0*v*exp(41*alpha*d/2)/(4096*E*alpha**13*d**12*exp(20*alpha*d) - 16384*E*alpha**12*d**11*exp(20*alpha*d) + 16384*E*alpha**12*d**11*exp(18*alpha*d) - 2048*E*alpha**11*d**10*exp(22*alpha*d) + 32768*E*alpha**11*d**10*exp(20*alpha*d) - 59392*E*alpha**11*d**10*exp(18*alpha*d) + 28672*E*alpha**11*d**10*exp(16*alpha*d) + 8192*E*alpha**10*d**9*exp(22*alpha*d) - 53248*E*alpha**10*d**9*exp(20*alpha*d) + 110592*E*alpha**10*d**9*exp(18*alpha*d) - 94208*E*alpha**10*d**9*exp(16*alpha*d) + 28672*E*alpha**10*d**9*exp(14*alpha*d) + 256*E*alpha**9*d**8*exp(24*alpha*d) - 15360*E*alpha**9*d**8*exp(22*alpha*d) + 76800*E*alpha**9*d**8*exp(20*alpha*d) - 158720*E*alpha**9*d**8*exp(18*alpha*d) + 165120*E*alpha**9*d**8*exp(16*alpha*d) - 86016*E*alpha**9*d**8*exp(14*alpha*d) + 17920*E*alpha**9*d**8*exp(12*alpha*d) - 1024*E*alpha**8*d**7*exp(24*alpha*d) + 19456*E*alpha**8*d**7*exp(22*alpha*d) - 89088*E*alpha**8*d**7*exp(20*alpha*d) + 189440*E*alpha**8*d**7*exp(18*alpha*d) - 220160*E*alpha**8*d**7*exp(16*alpha*d) + 144384*E*alpha**8*d**7*exp(14*alpha*d) - 50176*E*alpha**8*d**7*exp(12*alpha*d) + 7168*E*alpha**8*d**7*exp(10*alpha*d) + 1792*E*alpha**7*d**6*exp(24*alpha*d) - 19712*E*alpha**7*d**6*exp(22*alpha*d) + 82432*E*alpha**7*d**6*exp(20*alpha*d) - 180992*E*alpha**7*d**6*exp(18*alpha*d) + 232960*E*alpha**7*d**6*exp(16*alpha*d) - 180992*E*alpha**7*d**6*exp(14*alpha*d) + 82432*E*alpha**7*d**6*exp(12*alpha*d) - 19712*E*alpha**7*d**6*exp(10*alpha*d) + 1792*E*alpha**7*d**6*exp(8*alpha*d) - 1792*E*alpha**6*d**5*exp(24*alpha*d) + 16128*E*alpha**6*d**5*exp(22*alpha*d) - 62976*E*alpha**6*d**5*exp(20*alpha*d) + 139776*E*alpha**6*d**5*exp(18*alpha*d) - 193536*E*alpha**6*d**5*exp(16*alpha*d) + 172032*E*alpha**6*d**5*exp(14*alpha*d) - 96768*E*alpha**6*d**5*exp(12*alpha*d) + 32256*E*alpha**6*d**5*exp(10*alpha*d) - 5376*E*alpha**6*d**5*exp(8*alpha*d) + 256*E*alpha**6*d**5*exp(6*alpha*d) + 1120*E*alpha**5*d**4*exp(24*alpha*d) - 9856*E*alpha**5*d**4*exp(22*alpha*d) + 38544*E*alpha**5*d**4*exp(20*alpha*d) - 87936*E*alpha**5*d**4*exp(18*alpha*d) + 129024*E*alpha**5*d**4*exp(16*alpha*d) - 126336*E*alpha**5*d**4*exp(14*alpha*d) + 82656*E*alpha**5*d**4*exp(12*alpha*d) - 34944*E*alpha**5*d**4*exp(10*alpha*d) + 8736*E*alpha**5*d**4*exp(8*alpha*d) - 1024*E*alpha**5*d**4*exp(6*alpha*d) + 16*E*alpha**5*d**4*exp(4*alpha*d) - 448*E*alpha**4*d**3*exp(24*alpha*d) + 4160*E*alpha**4*d**3*exp(22*alpha*d) - 17280*E*alpha**4*d**3*exp(20*alpha*d) + 42240*E*alpha**4*d**3*exp(18*alpha*d) - 67200*E*alpha**4*d**3*exp(16*alpha*d) + 72576*E*alpha**4*d**3*exp(14*alpha*d) - 53760*E*alpha**4*d**3*exp(12*alpha*d) + 26880*E*alpha**4*d**3*exp(10*alpha*d) - 8640*E*alpha**4*d**3*exp(8*alpha*d) + 1600*E*alpha**4*d**3*exp(6*alpha*d) - 128*E*alpha**4*d**3*exp(4*alpha*d) + 112*E*alpha**3*d**2*exp(24*alpha*d) - 1128*E*alpha**3*d**2*exp(22*alpha*d) + 5120*E*alpha**3*d**2*exp(20*alpha*d) - 13800*E*alpha**3*d**2*exp(18*alpha*d) + 24480*E*alpha**3*d**2*exp(16*alpha*d) - 29904*E*alpha**3*d**2*exp(14*alpha*d) + 25536*E*alpha**3*d**2*exp(12*alpha*d) - 15120*E*alpha**3*d**2*exp(10*alpha*d) + 6000*E*alpha**3*d**2*exp(8*alpha*d) - 1480*E*alpha**3*d**2*exp(6*alpha*d) + 192*E*alpha**3*d**2*exp(4*alpha*d) - 8*E*alpha**3*d**2*exp(2*alpha*d) - 16*E*alpha**2*d*exp(24*alpha*d) + 176*E*alpha**2*d*exp(22*alpha*d) - 880*E*alpha**2*d*exp(20*alpha*d) + 2640*E*alpha**2*d*exp(18*alpha*d) - 5280*E*alpha**2*d*exp(16*alpha*d) + 7392*E*alpha**2*d*exp(14*alpha*d) - 7392*E*alpha**2*d*exp(12*alpha*d) + 5280*E*alpha**2*d*exp(10*alpha*d) - 2640*E*alpha**2*d*exp(8*alpha*d) + 880*E*alpha**2*d*exp(6*alpha*d) - 176*E*alpha**2*d*exp(4*alpha*d) + 16*E*alpha**2*d*exp(2*alpha*d) + E*alpha*exp(24*alpha*d) - 12*E*alpha*exp(22*alpha*d) + 66*E*alpha*exp(20*alpha*d) - 220*E*alpha*exp(18*alpha*d) + 495*E*alpha*exp(16*alpha*d) - 792*E*alpha*exp(14*alpha*d) + 924*E*alpha*exp(12*alpha*d) - 792*E*alpha*exp(10*alpha*d) + 495*E*alpha*exp(8*alpha*d) - 220*E*alpha*exp(6*alpha*d) + 66*E*alpha*exp(4*alpha*d) - 12*E*alpha*exp(2*alpha*d) + E*alpha) + 2048*alpha**11*d**11*f_0*exp(41*alpha*d/2)/(4096*E*alpha**13*d**12*exp(20*alpha*d) - 16384*E*alpha**12*d**11*exp(20*alpha*d) + 16384*E*alpha**12*d**11*exp(18*alpha*d) - 2048*E*alpha**11*d**10*exp(22*alpha*d) + 32768*E*alpha**11*d**10*exp(20*alpha*d) - 59392*E*alpha**11*d**10*exp(18*alpha*d) + 28672*E*alpha**11*d**10*exp(16*alpha*d) + 8192*E*alpha**10*d**9*exp(22*alpha*d) - 53248*E*alpha**10*d**9*exp(20*alpha*d) + 110592*E*alpha**10*d**9*exp(18*alpha*d) - 94208*E*alpha**10*d**9*exp(16*alpha*d) + 28672*E*alpha**10*d**9*exp(14*alpha*d) + 256*E*alpha**9*d**8*exp(24*alpha*d) - 15360*E*alpha**9*d**8*exp(22*alpha*d) + 76800*E*alpha**9*d**8*exp(20*alpha*d) - 158720*E*alpha**9*d**8*exp(18*alpha*d) + 165120*E*alpha**9*d**8*exp(16*alpha*d) - 86016*E*alpha**9*d**8*exp(14*alpha*d) + 17920*E*alpha**9*d**8*exp(12*alpha*d) - 1024*E*alpha**8*d**7*exp(24*alpha*d) + 19456*E*alpha**8*d**7*exp(22*alpha*d) - 89088*E*alpha**8*d**7*exp(20*alpha*d) + 189440*E*alpha**8*d**7*exp(18*alpha*d) - 220160*E*alpha**8*d**7*exp(16*alpha*d) + 144384*E*alpha**8*d**7*exp(14*alpha*d) - 50176*E*alpha**8*d**7*exp(12*alpha*d) + 7168*E*alpha**8*d**7*exp(10*alpha*d) + 1792*E*alpha**7*d**6*exp(24*alpha*d) - 19712*E*alpha**7*d**6*exp(22*alpha*d) + 82432*E*alpha**7*d**6*exp(20*alpha*d) - 180992*E*alpha**7*d**6*exp(18*alpha*d) + 232960*E*alpha**7*d**6*exp(16*alpha*d) - 180992*E*alpha**7*d**6*exp(14*alpha*d) + 82432*E*alpha**7*d**6*exp(12*alpha*d) - 19712*E*alpha**7*d**6*exp(10*alpha*d) + 1792*E*alpha**7*d**6*exp(8*alpha*d) - 1792*E*alpha**6*d**5*exp(24*alpha*d) + 16128*E*alpha**6*d**5*exp(22*alpha*d) - 62976*E*alpha**6*d**5*exp(20*alpha*d) + 139776*E*alpha**6*d**5*exp(18*alpha*d) - 193536*E*alpha**6*d**5*exp(16*alpha*d) + 172032*E*alpha**6*d**5*exp(14*alpha*d) - 96768*E*alpha**6*d**5*exp(12*alpha*d) + 32256*E*alpha**6*d**5*exp(10*alpha*d) - 5376*E*alpha**6*d**5*exp(8*alpha*d) + 256*E*alpha**6*d**5*exp(6*alpha*d) + 1120*E*alpha**5*d**4*exp(24*alpha*d) - 9856*E*alpha**5*d**4*exp(22*alpha*d) + 38544*E*alpha**5*d**4*exp(20*alpha*d) - 87936*E*alpha**5*d**4*exp(18*alpha*d) + 129024*E*alpha**5*d**4*exp(16*alpha*d) - 126336*E*alpha**5*d**4*exp(14*alpha*d) + 82656*E*alpha**5*d**4*exp(12*alpha*d) - 34944*E*alpha**5*d**4*exp(10*alpha*d) + 8736*E*alpha**5*d**4*exp(8*alpha*d) - 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2002*E*alpha**2*exp(20*alpha*d) + 4004*E*alpha**2*exp(18*alpha*d) - 6006*E*alpha**2*exp(16*alpha*d) + 6864*E*alpha**2*exp(14*alpha*d) - 6006*E*alpha**2*exp(12*alpha*d) + 4004*E*alpha**2*exp(10*alpha*d) - 2002*E*alpha**2*exp(8*alpha*d) + 728*E*alpha**2*exp(6*alpha*d) - 182*E*alpha**2*exp(4*alpha*d) + 28*E*alpha**2*exp(2*alpha*d) - 2*E*alpha**2),
 C4: 4*alpha**2*d**2*f_0*v*exp(9*alpha*d/2)/(8*E*alpha**4*d**3*exp(5*alpha*d) - 4*E*alpha**3*d**2*exp(5*alpha*d) + 4*E*alpha**3*d**2*exp(3*alpha*d) - 2*E*alpha**2*d*exp(7*alpha*d) + 4*E*alpha**2*d*exp(5*alpha*d) - 2*E*alpha**2*d*exp(3*alpha*d) + E*alpha*exp(7*alpha*d) - 3*E*alpha*exp(5*alpha*d) + 3*E*alpha*exp(3*alpha*d) - E*alpha*exp(alpha*d)) + 4*alpha**2*d**2*f_0*exp(9*alpha*d/2)/(8*E*alpha**4*d**3*exp(5*alpha*d) - 4*E*alpha**3*d**2*exp(5*alpha*d) + 4*E*alpha**3*d**2*exp(3*alpha*d) - 2*E*alpha**2*d*exp(7*alpha*d) + 4*E*alpha**2*d*exp(5*alpha*d) - 2*E*alpha**2*d*exp(3*alpha*d) + E*alpha*exp(7*alpha*d) - 3*E*alpha*exp(5*alpha*d) + 3*E*alpha*exp(3*alpha*d) - E*alpha*exp(alpha*d)) + 2*alpha*d*f_0*v*exp(13*alpha*d/2)/(8*E*alpha**4*d**3*exp(5*alpha*d) - 4*E*alpha**3*d**2*exp(5*alpha*d) + 4*E*alpha**3*d**2*exp(3*alpha*d) - 2*E*alpha**2*d*exp(7*alpha*d) + 4*E*alpha**2*d*exp(5*alpha*d) - 2*E*alpha**2*d*exp(3*alpha*d) + E*alpha*exp(7*alpha*d) - 3*E*alpha*exp(5*alpha*d) + 3*E*alpha*exp(3*alpha*d) - E*alpha*exp(alpha*d)) - 4*alpha*d*f_0*v*exp(9*alpha*d/2)/(8*E*alpha**4*d**3*exp(5*alpha*d) - 4*E*alpha**3*d**2*exp(5*alpha*d) + 4*E*alpha**3*d**2*exp(3*alpha*d) - 2*E*alpha**2*d*exp(7*alpha*d) + 4*E*alpha**2*d*exp(5*alpha*d) - 2*E*alpha**2*d*exp(3*alpha*d) + E*alpha*exp(7*alpha*d) - 3*E*alpha*exp(5*alpha*d) + 3*E*alpha*exp(3*alpha*d) - E*alpha*exp(alpha*d)) + 2*alpha*d*f_0*v*exp(5*alpha*d/2)/(8*E*alpha**4*d**3*exp(5*alpha*d) - 4*E*alpha**3*d**2*exp(5*alpha*d) + 4*E*alpha**3*d**2*exp(3*alpha*d) - 2*E*alpha**2*d*exp(7*alpha*d) + 4*E*alpha**2*d*exp(5*alpha*d) - 2*E*alpha**2*d*exp(3*alpha*d) + E*alpha*exp(7*alpha*d) - 3*E*alpha*exp(5*alpha*d) + 3*E*alpha*exp(3*alpha*d) - E*alpha*exp(alpha*d)) + 2*alpha*d*f_0*exp(13*alpha*d/2)/(8*E*alpha**4*d**3*exp(5*alpha*d) - 4*E*alpha**3*d**2*exp(5*alpha*d) + 4*E*alpha**3*d**2*exp(3*alpha*d) - 2*E*alpha**2*d*exp(7*alpha*d) + 4*E*alpha**2*d*exp(5*alpha*d) - 2*E*alpha**2*d*exp(3*alpha*d) + E*alpha*exp(7*alpha*d) - 3*E*alpha*exp(5*alpha*d) + 3*E*alpha*exp(3*alpha*d) - E*alpha*exp(alpha*d)) - 4*alpha*d*f_0*exp(9*alpha*d/2)/(8*E*alpha**4*d**3*exp(5*alpha*d) - 4*E*alpha**3*d**2*exp(5*alpha*d) + 4*E*alpha**3*d**2*exp(3*alpha*d) - 2*E*alpha**2*d*exp(7*alpha*d) + 4*E*alpha**2*d*exp(5*alpha*d) - 2*E*alpha**2*d*exp(3*alpha*d) + E*alpha*exp(7*alpha*d) - 3*E*alpha*exp(5*alpha*d) + 3*E*alpha*exp(3*alpha*d) - E*alpha*exp(alpha*d)) + 2*alpha*d*f_0*exp(5*alpha*d/2)/(8*E*alpha**4*d**3*exp(5*alpha*d) - 4*E*alpha**3*d**2*exp(5*alpha*d) + 4*E*alpha**3*d**2*exp(3*alpha*d) - 2*E*alpha**2*d*exp(7*alpha*d) + 4*E*alpha**2*d*exp(5*alpha*d) - 2*E*alpha**2*d*exp(3*alpha*d) + E*alpha*exp(7*alpha*d) - 3*E*alpha*exp(5*alpha*d) + 3*E*alpha*exp(3*alpha*d) - E*alpha*exp(alpha*d)) - f_0*v*exp(13*alpha*d/2)/(8*E*alpha**4*d**3*exp(5*alpha*d) - 4*E*alpha**3*d**2*exp(5*alpha*d) + 4*E*alpha**3*d**2*exp(3*alpha*d) - 2*E*alpha**2*d*exp(7*alpha*d) + 4*E*alpha**2*d*exp(5*alpha*d) - 2*E*alpha**2*d*exp(3*alpha*d) + E*alpha*exp(7*alpha*d) - 3*E*alpha*exp(5*alpha*d) + 3*E*alpha*exp(3*alpha*d) - E*alpha*exp(alpha*d)) + 2*f_0*v*exp(9*alpha*d/2)/(8*E*alpha**4*d**3*exp(5*alpha*d) - 4*E*alpha**3*d**2*exp(5*alpha*d) + 4*E*alpha**3*d**2*exp(3*alpha*d) - 2*E*alpha**2*d*exp(7*alpha*d) + 4*E*alpha**2*d*exp(5*alpha*d) - 2*E*alpha**2*d*exp(3*alpha*d) + E*alpha*exp(7*alpha*d) - 3*E*alpha*exp(5*alpha*d) + 3*E*alpha*exp(3*alpha*d) - E*alpha*exp(alpha*d)) - f_0*v*exp(5*alpha*d/2)/(8*E*alpha**4*d**3*exp(5*alpha*d) - 4*E*alpha**3*d**2*exp(5*alpha*d) + 4*E*alpha**3*d**2*exp(3*alpha*d) - 2*E*alpha**2*d*exp(7*alpha*d) + 4*E*alpha**2*d*exp(5*alpha*d) - 2*E*alpha**2*d*exp(3*alpha*d) + E*alpha*exp(7*alpha*d) - 3*E*alpha*exp(5*alpha*d) + 3*E*alpha*exp(3*alpha*d) - E*alpha*exp(alpha*d)) - f_0*exp(13*alpha*d/2)/(8*E*alpha**4*d**3*exp(5*alpha*d) - 4*E*alpha**3*d**2*exp(5*alpha*d) + 4*E*alpha**3*d**2*exp(3*alpha*d) - 2*E*alpha**2*d*exp(7*alpha*d) + 4*E*alpha**2*d*exp(5*alpha*d) - 2*E*alpha**2*d*exp(3*alpha*d) + E*alpha*exp(7*alpha*d) - 3*E*alpha*exp(5*alpha*d) + 3*E*alpha*exp(3*alpha*d) - E*alpha*exp(alpha*d)) + 2*f_0*exp(9*alpha*d/2)/(8*E*alpha**4*d**3*exp(5*alpha*d) - 4*E*alpha**3*d**2*exp(5*alpha*d) + 4*E*alpha**3*d**2*exp(3*alpha*d) - 2*E*alpha**2*d*exp(7*alpha*d) + 4*E*alpha**2*d*exp(5*alpha*d) - 2*E*alpha**2*d*exp(3*alpha*d) + E*alpha*exp(7*alpha*d) - 3*E*alpha*exp(5*alpha*d) + 3*E*alpha*exp(3*alpha*d) - E*alpha*exp(alpha*d)) - f_0*exp(5*alpha*d/2)/(8*E*alpha**4*d**3*exp(5*alpha*d) - 4*E*alpha**3*d**2*exp(5*alpha*d) + 4*E*alpha**3*d**2*exp(3*alpha*d) - 2*E*alpha**2*d*exp(7*alpha*d) + 4*E*alpha**2*d*exp(5*alpha*d) - 2*E*alpha**2*d*exp(3*alpha*d) + E*alpha*exp(7*alpha*d) - 3*E*alpha*exp(5*alpha*d) + 3*E*alpha*exp(3*alpha*d) - E*alpha*exp(alpha*d))}

alpha_value = 3*3.14/5000
u_x = u_x.subs(sol_params)
u_x = u_x.subs({L : 5000,E : 50000, v : 0.25, f_0 : 1000, t : 25, alpha : alpha_value, d : 5000})
u_x
u_z = u_z.subs(sol_params)
u_z = u_z.subs({L : 5000,E : 50000, v : 0.25, f_0 : 1000, t : 25, alpha : alpha_value, d : 5000})
u_z

---------------------------------------------------------------------------
KeyboardInterrupt                         Traceback (most recent call last)
~\AppData\Local\Temp\ipykernel_13732\3474861532.py in <module>
      1 alpha_value = 3*3.14/5000
      2 u_x = u_x.subs(sol_params)
----> 3 u_x = u_x.subs({L : 5000,E : 50000, v : 0.25, f_0 : 1000, t : 25, alpha : alpha_value, d : 5000})
      4 u_x
      5 u_z = u_z.subs(sol_params)

~\anaconda3\envs\bfem\lib\site-packages\sympy\core\basic.py in subs(self, *args, **kwargs)
    995             rv = self
    996             for old, new in sequence:
--> 997                 rv = rv._subs(old, new, **kwargs)
    998                 if not isinstance(rv, Basic):
    999                     break

~\anaconda3\envs\bfem\lib\site-packages\sympy\core\cache.py in wrapper(*args, **kwargs)
     68         def wrapper(*args, **kwargs):
     69             try:
---> 70                 retval = cfunc(*args, **kwargs)
     71             except TypeError as e:
     72                 if not e.args or not e.args[0].startswith('unhashable type:'):

~\anaconda3\envs\bfem\lib\site-packages\sympy\core\basic.py in _subs(self, old, new, **hints)
   1109         rv = self._eval_subs(old, new)
   1110         if rv is None:
-> 1111             rv = fallback(self, old, new)
   1112         return rv
   1113 

~\anaconda3\envs\bfem\lib\site-packages\sympy\core\basic.py in fallback(self, old, new)
   1081                 if not hasattr(arg, '_eval_subs'):
   1082                     continue
-> 1083                 arg = arg._subs(old, new, **hints)
   1084                 if not _aresame(arg, args[i]):
   1085                     hit = True

~\anaconda3\envs\bfem\lib\site-packages\sympy\core\cache.py in wrapper(*args, **kwargs)
     68         def wrapper(*args, **kwargs):
     69             try:
---> 70                 retval = cfunc(*args, **kwargs)
     71             except TypeError as e:
     72                 if not e.args or not e.args[0].startswith('unhashable type:'):

~\anaconda3\envs\bfem\lib\site-packages\sympy\core\basic.py in _subs(self, old, new, **hints)
   1109         rv = self._eval_subs(old, new)
   1110         if rv is None:
-> 1111             rv = fallback(self, old, new)
   1112         return rv
   1113 

~\anaconda3\envs\bfem\lib\site-packages\sympy\core\basic.py in fallback(self, old, new)
   1081                 if not hasattr(arg, '_eval_subs'):
   1082                     continue
-> 1083                 arg = arg._subs(old, new, **hints)
   1084                 if not _aresame(arg, args[i]):
   1085                     hit = True

~\anaconda3\envs\bfem\lib\site-packages\sympy\core\cache.py in wrapper(*args, **kwargs)
     68         def wrapper(*args, **kwargs):
     69             try:
---> 70                 retval = cfunc(*args, **kwargs)
     71             except TypeError as e:
     72                 if not e.args or not e.args[0].startswith('unhashable type:'):

~\anaconda3\envs\bfem\lib\site-packages\sympy\core\basic.py in _subs(self, old, new, **hints)
   1109         rv = self._eval_subs(old, new)
   1110         if rv is None:
-> 1111             rv = fallback(self, old, new)
   1112         return rv
   1113 

~\anaconda3\envs\bfem\lib\site-packages\sympy\core\basic.py in fallback(self, old, new)
   1081                 if not hasattr(arg, '_eval_subs'):
   1082                     continue
-> 1083                 arg = arg._subs(old, new, **hints)
   1084                 if not _aresame(arg, args[i]):
   1085                     hit = True

~\anaconda3\envs\bfem\lib\site-packages\sympy\core\cache.py in wrapper(*args, **kwargs)
     68         def wrapper(*args, **kwargs):
     69             try:
---> 70                 retval = cfunc(*args, **kwargs)
     71             except TypeError as e:
     72                 if not e.args or not e.args[0].startswith('unhashable type:'):

~\anaconda3\envs\bfem\lib\site-packages\sympy\core\basic.py in _subs(self, old, new, **hints)
   1109         rv = self._eval_subs(old, new)
   1110         if rv is None:
-> 1111             rv = fallback(self, old, new)
   1112         return rv
   1113 

~\anaconda3\envs\bfem\lib\site-packages\sympy\core\basic.py in fallback(self, old, new)
   1081                 if not hasattr(arg, '_eval_subs'):
   1082                     continue
-> 1083                 arg = arg._subs(old, new, **hints)
   1084                 if not _aresame(arg, args[i]):
   1085                     hit = True

~\anaconda3\envs\bfem\lib\site-packages\sympy\core\cache.py in wrapper(*args, **kwargs)
     68         def wrapper(*args, **kwargs):
     69             try:
---> 70                 retval = cfunc(*args, **kwargs)
     71             except TypeError as e:
     72                 if not e.args or not e.args[0].startswith('unhashable type:'):

~\anaconda3\envs\bfem\lib\site-packages\sympy\core\basic.py in _subs(self, old, new, **hints)
   1109         rv = self._eval_subs(old, new)
   1110         if rv is None:
-> 1111             rv = fallback(self, old, new)
   1112         return rv
   1113 

~\anaconda3\envs\bfem\lib\site-packages\sympy\core\basic.py in fallback(self, old, new)
   1081                 if not hasattr(arg, '_eval_subs'):
   1082                     continue
-> 1083                 arg = arg._subs(old, new, **hints)
   1084                 if not _aresame(arg, args[i]):
   1085                     hit = True

~\anaconda3\envs\bfem\lib\site-packages\sympy\core\cache.py in wrapper(*args, **kwargs)
     68         def wrapper(*args, **kwargs):
     69             try:
---> 70                 retval = cfunc(*args, **kwargs)
     71             except TypeError as e:
     72                 if not e.args or not e.args[0].startswith('unhashable type:'):

~\anaconda3\envs\bfem\lib\site-packages\sympy\core\basic.py in _subs(self, old, new, **hints)
   1109         rv = self._eval_subs(old, new)
   1110         if rv is None:
-> 1111             rv = fallback(self, old, new)
   1112         return rv
   1113 

~\anaconda3\envs\bfem\lib\site-packages\sympy\core\basic.py in fallback(self, old, new)
   1082                     continue
   1083                 arg = arg._subs(old, new, **hints)
-> 1084                 if not _aresame(arg, args[i]):
   1085                     hit = True
   1086                     args[i] = arg

~\anaconda3\envs\bfem\lib\site-packages\sympy\core\basic.py in _aresame(a, b)
   2042     if isinstance(a, Number) and isinstance(b, Number):
   2043         return a == b and a.__class__ == b.__class__
-> 2044     for i, j in zip_longest(_preorder_traversal(a), _preorder_traversal(b)):
   2045         if i != j or type(i) != type(j):
   2046             if ((isinstance(i, UndefFunc) and isinstance(j, UndefFunc)) or

~\anaconda3\envs\bfem\lib\site-packages\sympy\core\traversal.py in __next__(self)
    162 
    163     def __next__(self):
--> 164         return next(self._pt)
    165 
    166     def __iter__(self):

~\anaconda3\envs\bfem\lib\site-packages\sympy\core\traversal.py in _preorder_traversal(self, node, keys)
    136                     args = ordered(args)
    137             for arg in args:
--> 138                 yield from self._preorder_traversal(arg, keys)
    139         elif iterable(node):
    140             for item in node:

~\anaconda3\envs\bfem\lib\site-packages\sympy\core\traversal.py in _preorder_traversal(self, node, keys)
    136                     args = ordered(args)
    137             for arg in args:
--> 138                 yield from self._preorder_traversal(arg, keys)
    139         elif iterable(node):
    140             for item in node:

~\anaconda3\envs\bfem\lib\site-packages\sympy\core\traversal.py in _preorder_traversal(self, node, keys)
    136                     args = ordered(args)
    137             for arg in args:
--> 138                 yield from self._preorder_traversal(arg, keys)
    139         elif iterable(node):
    140             for item in node:

~\anaconda3\envs\bfem\lib\site-packages\sympy\core\traversal.py in _preorder_traversal(self, node, keys)
    136                     args = ordered(args)
    137             for arg in args:
--> 138                 yield from self._preorder_traversal(arg, keys)
    139         elif iterable(node):
    140             for item in node:

~\anaconda3\envs\bfem\lib\site-packages\sympy\core\traversal.py in _preorder_traversal(self, node, keys)
    136                     args = ordered(args)
    137             for arg in args:
--> 138                 yield from self._preorder_traversal(arg, keys)
    139         elif iterable(node):
    140             for item in node:

~\anaconda3\envs\bfem\lib\site-packages\sympy\core\traversal.py in _preorder_traversal(self, node, keys)
    136                     args = ordered(args)
    137             for arg in args:
--> 138                 yield from self._preorder_traversal(arg, keys)
    139         elif iterable(node):
    140             for item in node:

~\anaconda3\envs\bfem\lib\site-packages\sympy\core\traversal.py in _preorder_traversal(self, node, keys)
    123             self._skip_flag = False
    124             return
--> 125         if isinstance(node, Basic):
    126             if not keys and hasattr(node, '_argset'):
    127                 # LatticeOp keeps args as a set. We should use this if we

KeyboardInterrupt: